Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=2cm，對角線AC、BD交于點O，點E以一定的速度從A向B移動，點F以相同的速度從B向C移動，連結OE、OF、EF．則線段EF的最小值是_______cm．

Answer 1

【答案】

【解析】根據正方形的對角線互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，對角線平分一組對角可得∠OAE=∠OBF，再根據AE=BF，然后利用“SAS”證明△AOE和△BOF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解：（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，

∵點E、F的速度相等，

∴AE=BF，

在△AOE和△BOF中，

OA=BO，∠AOE=∠OBF，AE=BF，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

故答案為BOF．

（2）∵△AOE≌△BOF，

∴∠AOE=∠BOF，

∴∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠BOF+∠BOE=90°，

∴∠EOF=90°，

在Rt△BEF中，設AE=x，則BF=x，BE=2﹣x，

EF===．

∴當x=1時，EF有最小值為；

故答案為．

“點睛”本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，熟記正方形的性質，求出三角形全等的條件是解題的關鍵．