Question

如圖，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片．AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．從這張硬紙片剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH．使它的一邊EF在BC上，頂點G，H分別在AC，AB上．AD與HG的交點為M．
（1）求證：

AM

AD

=

HG

BC

；
（2）求這個矩形EFGH的周長．

Answer 1

分析：（1）根據矩形性質得出∠AHG=∠ABC，再證明△AHG∽△ABC，即可證出；
（2）根據（1）中比例式即可求出HE的長度，以及矩形的周長．

解答：（1）證明：∵四邊形EFGH為矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴

AM

AD

=

HG

BC

；

（2）解：由（1）

AM

AD

=

HG

BC

得：設HE=xcm，MD=HE=xcm，
∵AD=30cm，
∴AM=30-x，
∵HG=2HE，
∴HG=2x，
可得

30-x

30

=

2x

40

，
解得，x=12，
2x=24
所以矩形EFGH的周長為：2×（12+24）=72（cm）．
答：矩形EFGH的周長為72cm．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，根據矩形性質得出△AHG∽△ABC是解決問題的關鍵．