Question

【題目】將△ABC的∠C折起，翻折后角的頂點(diǎn)位置記作C′，當(dāng)C′落在AC上時(shí)（如圖1），易證：∠1=2∠2.

當(dāng)C′點(diǎn)落在CA和CB之間（如圖2）時(shí)，或當(dāng)C′落在CB、CA的同旁（如圖3）時(shí)，∠1、∠2、∠3關(guān)系又如何？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并就其中一種情況給出證明.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)找出等解即可進(jìn)行推理判斷.

解：當(dāng)C′點(diǎn)落在CA和CB之間（如圖2）時(shí)，∠1+∠3=2∠2；

當(dāng)C′落在CB、CA的同旁（如圖3）時(shí)，∠1－∠3=2∠2；

對(duì)于圖2證明如下：

連結(jié)CC’，如圖4所示，

∵⊿EC’D是由⊿ECD翻折得到的，

∴⊿EC’D≌⊿ECD，由此得EC=EC’，DC=DC’，∠EC’D=∠ECD，

∴∠EC’C=∠ECC；∠DC’C=∠DCC，

∵∠1=∠DC’C+∠DCC’ ，∠3=∠EC’C+∠ECC’ ，

∴∠1+∠3=∠DC’C+∠DCC’ +∠ EC’C+∠ECC’=2∠DC’C+2∠ EC’C =2(∠DC’C+∠ EC’C)= 2∠2；

∴∠1+∠3=2∠2；

對(duì)于圖3證明如下：

設(shè)AC與DC’在⊿ABC內(nèi)部所夾角為∠4，如圖5所示，

則有∠1=∠C+∠4，∠4=∠3+∠2，

又由翻折得：∠2=∠C，

∴∠1=∠2+∠3+∠2=∠3+2∠2，

∴∠1－∠3=2∠2.