Question

如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O與AB，BC都相切，點E，F分別在邊AD，DC上，現將△DEF沿EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處，若DE=2，則正方形ABCD的邊長是______．

Answer 1

∵沿EF折疊D和O重合，EF與⊙O切于M，
∴OM=MD，OE=ED=2，DF=OF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EDO=45°=∠FDO=∠DOF，∠ADF=∠EOF=90°，
∴∠DFO=90°，
即四邊形EOFD是正方形，
DF=DE=OF=2，
在△DFO中，由勾股定理得：DO=

22+22

=2

2

，
∴OM=

2

，
延長FO交AB于Q，延長EO交BC于R，
則OQ⊥AB，OR⊥BC，
則⊙O切AB于Q，切BC于R，
∴OQ=OR，
∴∠OQB=∠ORB=∠QBR=90°，
∴四邊形BQOR是正方形，
∴BQ=OQ=OR=BR=OM=

2

，
∵四邊形AQOE是矩形，
∴AQ=EO=2，
∴正方形ABCD的邊長是2+

2

，
故答案為：2+

2

．