Question

【題目】如圖，過△ABC的頂點A分別作∠ACB及其外角的平分線的垂線，垂直分布為E、F，連接EF交AB于點M，交AC于點N，求證：

（1）四邊形AECF是矩形；

（2）MN=BC．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）由角平分線的定義和鄰補角定義得出∠ECF=90°，由AE⊥CE，AF⊥CF，得出∠AEC=∠AFC=90°，即可得出四邊形AECF是矩形；

（2）由矩形的性質得出EN=FN，AN=CN=AC，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CN=EF=EN，由等腰三角形的性質得出∠NEC=∠ACE=∠BCE，證出EN∥BC，得出△AMN∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

證明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，

∵∠ACB+∠ACD=180°，

∴∠ACE+∠ACF=90°，

即∠ECF=90°，

又∵AE⊥CE，AF⊥CF，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

∴四邊形AECF是矩形；

（2）∵四邊形AECF是矩形，

∴EN=FN，AN=CN=AC，

∴CN=EF=EN，

∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，

∴EN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴==，

∴MN=BC．