Question

已知二次函數中，m為不小于0的整數，它的圖像與x軸交于點A和點B，點A在原點左邊，點B在原點右邊．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）點C是拋物線與軸的交點，已知AD=AC（D在線段AB上），有一動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度移動，同時，另一動點Q從點C出發，以某一速度沿線段CB移動，經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情況下，求四邊形ACQD的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵二次函數的圖像與x軸有兩個交點，

∴

∴.                                 

∵m為不小于0的整數，∴m取0、1.      

當m=1時，，圖像與x軸的兩個交點在原點的同側，不合題意，舍去；

當m=0時，，符合題意.

∴二次函數的解析式為：    

（2）∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD

 ∵CD垂直平分PQ，∴DP=DQ，∴∠ADC=∠CDQ.

 ∴∠ACD=∠CDQ，∴DQ∥AC

 ∴△BDQ∽△BAC，∴         

 ∵AC=，BD=，AB=4.

∴DQ=，                            

∴PD=.     ∴AP=AD-PD=，

 ∴t=                       

（3）∵△BDQ∽△BAC

∴

易求，∴  

∴.              

【解析】（1）根據二次函數的圖象與x軸有兩個交點，得到△＞0，求出m的取值范圍，結合m為不小于0的整數，

求出m的整數解；再將整數解代入二次函數解析式，找到符合題意的二次函數；

（2）根據題意畫出圖象，證出DQ∥AC，從而得到△BDQ∽△BAC，然后利用相似三角形的性質求出t的值；

（3）由于△BDQ∽△BAC，求出，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出，二者相減，即可得到