Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+4交x軸于點A，交y軸于點C，拋物線y=ax2﹣ x+c過點A，交y軸于點B（0，﹣2）

（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為拋物線在第四象限部分上的一個動點，求四邊形BMAC面積的最大值；
（3）點D為拋物線對稱軸上一點，規定：d=|AD﹣BD|，探究d是否存在最大值？若存在，請直接寫出d的最大值及此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣ x+4交x軸于點A，交y軸于點C，

∴點A坐標為（3，0）、點C坐標為（0，4），

∵拋物線y=ax2﹣ x+c過點A，交y軸于點B（0，﹣2）．

∴ ，解得： ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣2；

（2）

解：如圖1所示，過點M作x軸的垂線，交直線y=﹣ x+4于點N．

設點M（x， x2﹣ x﹣2），則點N的坐標為（x，﹣ x+4）．

∵MN∥BC，

∴MN和BC間的距離為x，MN=（﹣ x+4）﹣（ x2﹣ x﹣2）=6﹣ x2，點A到MN的距離d=3﹣x，則四邊形BMNC的面積S1= （BC+MN）x=6x﹣ x3，

△ANM的面積S2= MN（3﹣x）= x3﹣x2﹣3x+9，

∴四邊形BMAC的面積S=S1+S2=6x﹣ x3+ x3﹣x2﹣3x+9=﹣x2+3x+9=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵0＜x＜3，

∴當x= 時，四邊形BMAC面積的最大值為 ．

（3）

解：如圖2所示：記拋物線與x軸的另一個交點為E．

∵拋物線的對稱為x=﹣ =1，A（3，0），

∴E（﹣1，0）．

∴OE=1，EF=2．

∵點E與點A關于拋物線的對稱軸對稱，

∴ED=AD．

∴d=|AD﹣BD|=|ED﹣BD|．

∵當點E、B、D不在同一條直線上時，d=|ED﹣BD|＜BE，當點E、B、D在同一條直線上時，d=|ED﹣BD|=BE，

∴d的最大值=BE= = ．

∵OB∥DF，

∴△EOB∽△EFD．

∴ = ，即 = ，解得：DF=4．

∴D（1，﹣4）．

【解析】（1）根據直線與坐標軸的交點得出點A、C坐標，再根據待定系數法求得拋物線解析式；（2）設點M（x， x2﹣ x﹣2），過點M作x軸的垂線，交直線y=﹣ x+4于點N，先求出四邊形BMNC的面積S1= （BC+MN）x=6x﹣ x3 ， △ANM的面積S2= MN（3﹣x）= x3﹣x2﹣3x+9，根據四邊形BMAC的面積S=S1+S2得到四邊形的面積與x的函數關系式，然后利用配方法求解即可；（3）記拋物線與x軸的另一個交點為E，拋物線的對稱軸與x軸的交點為F，當點E、B、D在同一條直線上時，d有最大值，然后證明△EOB∽△EFD，依據相似三角形的性質可求得DF的長，從而可得到點D的坐標．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．