Question

【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,點E是CD上的點(不與CD的中點重合), DE=AB, ∠BAC=∠D，AD=AC

(1)求證:四邊形AECB是等腰梯形；

(2)點F 是AB 邊延長線上一點，且BC=CF .聯結CF、EF,若AC⊥EF求證：四邊形AECF是菱形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由AD＝AC，證得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行線的判定推出AB∥DC，根據全等三角形的判定證得△ADE≌△CAB，即可證得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可證得結論；

（2）首先證明△AEC≌△CFA，通過全等三角形的性質得到AF＝CE，推出四邊形AECF是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得到結論．

證明：（1）∵AD＝AC，

∴∠D＝∠ACD，

∵∠BAC＝∠D，

∴∠ACD＝BAC，

∴AB∥DC，

在△ADE和△CAB中， ，

∴△ADE≌△CAB(SAS)，

∴AE＝BC，

∴四邊形AECB是等腰梯形；

（2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC，

∴∠FBC＝∠BCE，∠FAC＝∠ACE

∵BC＝CF，

∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC，

∴∠BFC＝∠AEC，

在△AEC和△CFA中，，

∴△AEC≌△CFA (AAS)，

∴AF＝CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴平行四邊形AECF是菱形．