Question

【題目】操作與證明：

如圖1，已知P是矩形ABCD的邊BC上的一個點（P與B、C兩點不重合），過點P作射線PE⊥AP，在射線PE上截取線段PF，使得PF=AP．

（1）過點F作FG⊥BC交射線BC點G．（尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）

（2）求證：FG=BP．

探究與計算：

（3）如圖2，若AB=BC，連接CF，求∠FCG的度數；

（4）在（3）的條件下，當=時，求sin∠CFP的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠FCG=45°；（4）．

【解析】

試題分析：（1）利用作一個角等于已知角的方法，即可作出所求直線；

（2）易求得∠BAP=∠GPF，∠ABP=∠PGF=90°，又由AP=PF，即可證得△ABP≌△PGF，繼而證得結論；

（3）首先證得FG=CG，即可得△FCG是等腰直角三角形，繼而求得答案；

（4）首先作CH⊥PF于H，易證得△PHC∽△PGF，由相似三角形的對應邊成比例，可得，然后設BP=3a，則PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，分別求得FC，HC，繼而求得答案．

（1）解：如圖1所示：

（2）證明：∵PE⊥AP，

∴∠APE=90°．

∴∠APB+∠GPF=90°，

又∵∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠GPF，

又∵FG⊥BC，

∴∠ABP=∠PGF=90°，

在△ABP與△PGF中，

，

∴△ABP≌△PGF（AAS）．

∴FG=BP；

（3）解：由（2）知AB=PG，

∵AB=BC，

∴BC=PG．

∴BC﹣PC=PG﹣PC．

∴BP=CG，

又∵FG=BP，

∴FG=CG．

又∵∠CGF=90°，

∴∠FCG=45°；

（4）解：如圖2，作CH⊥PF于H，

∵∠HPC=∠GPF，∠CHP=∠FGP=90°，

∴△PHC∽△PGF．

∴，

根據，

設BP=3a，則PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，

∴PF==5a，CF==3a，

∴．

∴HC=a，

∴sin∠CFP==．