Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，將△APD繞PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△A′DP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．

（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，求x的值；

（2）在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C過程中，當(dāng)x為何值時(shí)，△A′BC是以A′B為腰的等腰三角形；

（3）如圖（2），另有一動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，在線段BC上以5cm/s的速度從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，將△BQE繞QE的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△B′EQ，連結(jié)A′B′，當(dāng)直線A′B′與△ABC的一邊垂直時(shí)，求線段A′B′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)， x＝；

（2）當(dāng)A′B＝A′C時(shí)，x=；

（3）當(dāng)A′B′⊥AB時(shí),x=,A1B1=；當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)x=, A1B1=；當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)x=, A1B1=．

【解析】（1）利用相似三角形直接求出x的值；（2）由A′B＝BC得出一元二次方程求出x的值；（3）利用分類討論思想求出線段A′B′長(zhǎng)的三種情況．

解：（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)，由題意得

四邊形AP A′D為平行四邊形

∵△APD∽△ABC，AP=5x，

∴ A′P=AD=4x，PC=4－5x．

∵A′P//AB ∴△A′PC∽△ABC．

x＝．

當(dāng)點(diǎn)A′落在邊BC上時(shí)， x＝．

（2）當(dāng)A′B＝BC時(shí),,解得： ．

∵ x≤， ∴．

當(dāng)A′B＝A′C時(shí)，x=．分）

(3) 當(dāng)A′B′⊥AB時(shí),x=,A1B1=．

當(dāng)A′B′⊥BC時(shí)x=, A1B1= ．

當(dāng)A′B′⊥AC時(shí)x=, A1B1=．

“點(diǎn)睛”此題是幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)的意義，相似三角形，解本題的關(guān)鍵是要分類要分準(zhǔn)，難點(diǎn)是分類.