Question

【題目】已知：在正方形中，點在直線上，連接，作交直線于點，點在直線上，連接，且，

（1）如圖1，當點在邊上，求證：；

（2）如圖2，當點在的延長線上，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BH= ．

【解析】

（1）利用平行線的性質以及三角形的外角的性質證明即可．
（2）如圖2中，延長MN，AB交于點K，連接CK，只要證明△AMB≌△KMB（ASA），CN=KN即可解決問題．
（3）如圖（3）中，延長MN，AB交于點K，連接CK，CA，BN，AC，延長AC交KM于E，作HF⊥BM于F．想辦法證明BC=CM，推出tan∠AMB=tan∠BMK= ，解直角三角形求出HF，BF即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH=∠AMB，
∵∠AMB=∠NMB，∠NMB=∠N+∠NCB，
∴∠DAH=∠N+∠NCB．
（2）證明：如圖2中，延長MN，AB交于點K，連接CK，CA．

在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，
∵∠AMB=∠BMN，
∵∠ABM=∠KBM=90°，BM=BM，
∴△AMB≌△KMB（ASA），
∴BK=AB=BC，∠BKM=∠BAM，AM=KM，
∴∠BKC=∠BCK，
∵CH⊥AM，
∴∠BAM=90°-∠AMB=90°-∠CMH=∠BCN，
∴∠BKM=∠BCN，
∴∠BKC-∠BKM=∠BCK-∠BCN，
∴∠NKC=∠NCK，
∴NK=NC，
∵KM=MN+NK，
∴AM=MN+CN．
（3）解：如圖（3）中，延長MN，AB交于點K，連接CK，CA，BN，AC，延長AC交KM于E，作HF⊥BM于F．

設CN=KN=x，則MN=2x，
∵BK=BC，BN=BN，KN=KC，
∴△BNK≌△BNC（SSS），
∴∠NBK=∠NBC=∠CBK=45°，
∵四邊形ABC都是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴∠NBK=∠BAC，
∴AE∥BN，
∵AB=BK，
∴KN=NE=x，
∴EN=EM=x，
∵CE∥BN，EN=EM，
∴BC=CM，
∴tan∠AMB=tan∠BMK==，
在Rt△CHM中，∵∠CHM=90°，
∴tan∠CMH=，
∵CH=2，
∴MH=4，
∴CM==10，
∵CHHM=CMHF，
∴FH=4，FM=8，CF=2，
在Rt△BHF中，BH= ．