Question

【題目】如圖，在ABCD中，各內角的平分線分別相交于點E，F，G，H．

（1）求證：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四邊形EFGH是什么樣的特殊四邊形？證明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，

∴∠BAG= ∠BAD，∠DCE= ∠DCB，

∵ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，

∴∠BAG=∠DCE，

同理可得，∠ABG=∠CDE，

∵在△ABG和△CDE中，

，

∴△ABG≌△CDE（ASA）；

（2）解：四邊形EFGH是矩形．

證明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，

∴∠GAB= ∠BAD，∠GBA= ∠ABC，

∵ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，

∴∠GAB+∠GBA= （∠DAB+∠ABC）=90°，

即∠AGB=90°，

同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，

∴四邊形EFGH是矩形；

（3）解：依題意得，∠BAG= ∠BAD=30°，

∵AB=6，

∴BG= AB=3，AG=3 =CE，

∵BC=4，∠BCF= ∠BCD=30°，

∴BF= BC=2，CF=2 ，

∴EF=3 ﹣2 = ，GF=3﹣2=1，

∴矩形EFGH的面積=EF×GF= ．

【解析】（1）利用平行四邊形的對角、對邊相等性質，運用角邊角證出全等；（2）平行四邊形的一組鄰角是同旁內角，兩角平分線互相垂直，可得四邊形EFGH是矩形；（3）要求矩形EFGH的面積，可求EF、FG，須求BF、CF，在Rt△BCF中可求出BF、CF.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．