Question

如圖1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．
（1）在圖1中，DE交邊AB于M，DF交邊BC于N
①證明：DM=DN
②在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積
（2）繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①連接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根據ASA證△MBD≌△NCD，根據全等三角形的性質推出即可；②根據全等得出△MBD和△NCD的面積相等，求出四邊形DMBN的面積等于△BDC的面積，求出即可；
（2）連接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根據ASA證△MBD≌△NCD，根據全等三角形的性質推出即可．

解答：（1）①證明：
連接DB，
∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，∠MDB+∠BDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，
∴∠MDB=∠CDN，
在△MBD和△NCD中

∠MDB=∠NDC BD=DC ∠MBD=∠C=45°

，
∴△MBD≌△NCD（ASA）
∴DM=DN；
②解：四邊形DMBN的面積不發生變化，
由①知：△MBD≌△NCD，
∴S_△MBD=S_△NCD，
∴S_{四邊形DMBN}=S_△DMB+S_△BDN=S_△CND+S_△BDN=S_△BDC=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×1×1=

1

4

；

（2）DM=DN仍然成立，
證明：連接DB，
在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
在△CDN和△BDM中

∠NDC=∠MDB DC=DB ∠DCN=∠DBM

，
∴△CDN≌△BDM（ASA），
∴DM=DN．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質，三角形斜邊上中線性質，三線合一定理，全等三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生的推理能力，題目比較典型，證明過程類似．