Question

在一次數學活動課上，老師組織大家利用矩形進行圖形變換的探究活動．

1.第一小組同學將矩形紙片ABCD按如下順序進行操作：對折、展平，得折痕EF（如圖1）；再沿GC折疊，使點B落在EF上的點B'處（如圖2），這樣能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少嗎？請寫出求解過程．

2.第二小組的同學，在一個矩形紙片上按照圖3的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，將△ABC沿著直線AC的方向依次進行平移變換，每次均移動AC的長度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如圖4．已知AH＝AI，AC長為a，現以AD、AF和AH為三邊構成一個新三角形，已知這個新三角形面積小于15，請你幫助該小組求出a可能的最大整數值．

3.探究活動結束后，老師給大家留下了一道探究題:如圖5，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，請利用圖形變換探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'與的大小關系．

 

Answer 1

 

1.連接BB'，由題意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，

B'C＝BC，∴△BB'C為等邊三角形．∴∠B'CB＝60°，

（或由三角函數FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）

∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°………………………………………3分

2.分別取CE、EG、GI的中點P、Q、R，連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA＝BC，根據平移變換的性質，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．

在Rt△AHR中，AH＝AI＝4a，AH²＝HR²＋AR²，HR²＝a²，

則DP²＝FQ²＝HR²＝a²，

AD²＝AP²＋DP²＝6a²，AF²＝AQ²＋FQ²＝10a²，

新三角形三邊長為4a、a、a．

∵AH²＝AD²＋AF²    ∴新三角形為直角三角形．

其面積為aa＝a²．∵a²＜15  ∴a²＜15

（或通過轉換得新三角形三邊就是AD、DI、AI，即求△GAI的面積或利用△HAI與△HGI相似，求△HAI的面積也可以）

∴a的最大整數值為3．………………………………………………7分

3.將△BOC'沿BB'方向平移2個單位，所移成的三角形記為△B'PR，

將△COA'沿A'A方向平移2個單位，所移成的三角形記為△AQR．

由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA'＝AA'＝2，OP＝OB'＋B'P＝OB'＋OB＝BB'＝2．又∠QOP＝60°，則PQ＝OQ＝OP＝2，

又因為QR＋PR＝OC＋OC'，故O、R、P三點共線．因為S_△QOP＝，

所以S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'＝S_△AOB'＋S_△B'PR＋S_△PQA＜ …………10分

解析:所謂的難題就是一些知識點的綜合，此題包括了圖形的平移、等腰三角形的性質、三角形面積等知識，有一定的難度。