Question

如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與雙曲線（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．

（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：
① 分別求出直線l與雙曲線的解析式；（3分）
② 若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？（4分）
（2）假設點A的坐標為(a，0)，點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值.（2分）

Answer 1

（1）①反比例函數的解析式為，直線AB的解析式為y=-x+5；
②當時，直線l與反比例函數有且只有一個交點；
（2）

試題分析：（1）、①把點D或點E的坐標代入雙曲線（a≠0，x＞0）中，易求反比例函數的解析式為，設直線AB的解析式為y=ax+b，再把點D或點E的坐標代入，可得一個二元一次方程組，求得直線AB的解析式為y = -x+5；
② 依題意可設向下平移m（m＞0）個單位后解析式為，直線l與雙曲線有且只有一個交點即(整理得)的△=0即△=，
解得：，（舍去），即當時，直線l與反比例函數有且只有一個交點；
(2)、過點D作DF⊥OA于F(如下圖)，則△ADF∽△ABO得，即解得：DF=，AF=；所以OF=OA-AF=a-=，所以點D的坐標為（，），又因為點D在雙曲線（a≠0，x＞0）上，所以×=a，所以.

試題解析：(1) ①易求反比例函數的解析式為，
直線AB的解析式為y = -x+5；（5分）
② 依題意可設向下平移m（m＞0）個單位后解析式為，  
由，得， 
∵ 平移后直線l與反比例函數有且只有一個交點，∴△=，
∴ ，（舍去）.
即當時，直線l與反比例函數有且只有一個交點；(5分)
(2) .(2分)