Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，線段AB在直線l₁上，BC垂直于l₁交l₂于點C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點的一點，過點P的直線分別交l₂、l₁于點D、E（點A、E位于點B的兩側），滿足BP=BE，連接AP、CE．
（1）求證：△ABP≌△CBE；
（2）連結AD、BD，BD與AP相交于點F．如圖2．
①當=2時，求證：AP⊥BD；
②當=n（n＞1）時，設△PAD的面積為S₁，△PCE的面積為S₂，求的值．

Answer 1

（1）證明見解析
?證明見解析
?n+1

解析試題分析：（1）由BC垂直于l₁可得∠ABP=∠CBE，由SAS即可證明；
（2）①延長AP交CE于點H，由（1）及已知條件可得AP⊥CE，△CPD∽△BPE，從而有DP=PE，得出四邊形BDCE是平行四邊形，從而可得到CE//BD，問題得證；
②由已知條件分別用S表示出△PAD和△PCE的面積，代入即可．
試題解析：（1）∵BC⊥直線l₁，
∴∠ABP=∠CBE，
在△ABP和△CBE中

∴△ABP≌△CBE（SAS）；
（2）①延長AP交CE于點H，

∵△ABP≌△CBE，
∴∠PAB=∠ECB，
∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°，
∴AP⊥CE，
∵=2，即P為BC的中點，直線l₁//直線l₂，
∴△CPD∽△BPE，
∴==，
∴DP=PE，
∴四邊形BDCE是平行四邊形，
∴CE//BD，
∵AP⊥CE，
∴AP⊥BD；
②∵=N
∴BC=n•BP，
∴CP=（n﹣1）•BP，
∵CD//BE，
∴△CPD∽△BPE，
∴==n﹣1，
即S₂=（n﹣1）S，
∵S_△PAB=S_△BCE=n•S，
∴S_△PAE=（n+1）•S，
∵==n﹣1，
∴S₁=（n+1）（n﹣1）•S，
∴==n+1．
考點：1、全等三角形的性質與判定；2、相似三角形的性質與判定；3、平行四邊形的性質與判定