Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．

（1）當時，求線段的長；
（2）當0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請探究是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）  （2）或  （3）

試題分析：     
（1）依題意知，直角梯形ABCD中，CD∥AB。當t＜2時可證明△ECQ∽△MAQ。
當t=0.5時，AM=DE=0.5，則CE="2-0.5=1.5" 則因為EC：AM=EQ：QM。所以1.5:0.5=EQ：QM。所以EQ=3QM。因為EM=AD=4
所以QM=1
（2）依題意知△CPQ為直角三角形，且0＜t＜2時。故有兩種情況：
①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，
此時DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，

②當∠PQC=90°時，如備用圖1，此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴
③當2＜t≤6時，可得CD=DP=2時，∠DCP=45°，可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，此時t=4（舍去），綜上所述，t=1或t=
（3）
點評：本題難度較大。此題主要考查了相似三角形的性質與判定以及直角三角形的判定等知識，題目綜合性較強，分類討論時要考慮全面，根據t的取值范圍進行討論是解決問題的關鍵．