Question

如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.

(1)求證：四邊形AFCE為菱形；
(2)設AE＝a，ED＝b，DC＝c.請寫出一個a、b、c三者之間的數量關系式．

Answer 1

（1）見解析  （2）a²＝b²＋c²

分析：(1)由矩形ABCD與折疊的性質，易證得△CEF是等腰三角形，即CE＝CF，即可證得AF＝CF＝CE＝AE，即可得四邊形AFCE為菱形．
(2)由折疊的性質，可得CE＝AE＝a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之間的數量關系式為：a²＝b²＋c².(答案不唯一)
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC.
由折疊的性質，可得：∠AEF＝∠CEF，
AE＝CE，AF＝CF，∴∠EFC＝∠CEF.
∴CF＝CE.
∴AF＝CF＝CE＝AE.
∴四邊形AFCE為菱形．
(2)解：a、b、c三者之間的數量關系式為：
a²＝b²＋c².理由如下：
由折疊的性質，得：CE＝AE.
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.
∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a.
在Rt△DCE中，CE²＝CD²＋DE²，
∴a、b、c三者之間的數量關系式可寫為：a²＝b²＋c².