Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓O的三等分點，過點C作⊙O的切線交AD的延長線于點E，過點D作DF⊥AB于點F，交⊙O于點H，連接DC，AC．
（1）求證：∠AEC=90°；
（2）試判斷以點A，O，C，D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若DC=2，求DH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵EC與⊙O切點C，

∴OC⊥EC，

∴∠OCE=90°，

∵點CD是半圓O的三等分點，

∴ = = ，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（內錯角相等，兩直線平行）

∴∠AEC+∠OCE=180°，

∴∠AEC=90°

（2）解：四邊形AOCD為菱形．

理由是：

∵ = ，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四邊形AOCD是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

（3）解：連接OD．

∵四邊形AOCD為菱形，

∴OA=AD=DC=2，

∵OA=OD，

∴OA=OD=AD=2，

∴△OAD是等邊三角形，

∴∠AOD=60°，

∵DH⊥AB于點F，AB為直徑，

∴DH=2DF，

在Rt△OFD中，sin∠AOD= ，

∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°= ，

∴DH=2DF=2 ．

【解析】（1）連接OC，根據EC與⊙O切點C，則∠OCE=90°，由題意得 = = ，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，則∠AEC+∠OCE=180°，從而得出∠AEC=90°；（2）四邊形AOCD為菱形．由（1）得 = ，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（3）連接OD．根據四邊形AOCD為菱形，得△OAD是等邊三角形，則∠AOD=60°，再由DH⊥AB于點F，AB為直徑，在Rt△OFD中，根據sin∠AOD= ，求得DH的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法))的相關知識才是答題的關鍵．