Question

如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線上，AD∥BC，AB⊥BC于點B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動，當點C與點G重合時停止移動．設梯形與正方形重疊部分的面積為S．
（1）求正方形的邊長；
（2）設直角梯形ABCD的頂點C向右移動的距離為x，求S與x的函數關系式；
（3）當直角梯形ABCD向右移動時，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯形ABCD面積的一半？若能，請求出此時運動的距離x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過求出梯形的面積即正方形的面積來求正方形的邊長．
（2）由（1）的結果可看出AD，EF也在一條直線上，那么本題要分兩種情況進行討論．
①當D在E點上或E點左側時，即當0＜x≤4時，重疊部分是個三角形，如果設DN與CE的交點為M，那么高就是CM底邊就是CN，CN=x，CM可以通過構建相似三角形來求，過D作DH⊥BC于H，那么根據三角形CMN和HDN相似即可求出CM，也就能得出關于x，y的函數關系式．
②當D在E點右側時，即當4＜x≤6時，重疊部分是直角梯形，而DE=CG-（8-x），然后根據梯形的面積公式即可得出x，y的函數關系式．
（3）先求出梯形的面積，然后將其一半的值代入（2）的函數式中，求出符合題意的解即可．

解答：解：（1）S_{正方形EFGC}=S_梯形ABCD=

1

2

（4+8）×6=36．
設正方形邊長為x．
∴x²=36，
∴x₁=6，x₂=-6（不合題意，舍去）．
∴正方形的邊長為6．

（2）①當0＜x≤4時，重疊部分為△MCN．
過D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN，
∴

MC

DH

=

CN

HN

，
∴

MC

6

=

X

4

，
∴MC=

3

2

x，
∴S=

1

2

CN•CM=

1

2

•x•

3

2

x．
∴S=

3

4

x²．
②當4＜x≤6時，重疊部分為直角梯形ECND．
S=

1

2

[4-（8-x）+x]×6，
∴S=6x-12．

（3）存在．
∵S_梯形ABCD=36，當0＜x≤4時，S=

3

4

x²，
∴

1

2

×36=

3

4

x²，x=2

6

（取正值）＞4
∴此時x值不存在．
當4＜x≤6時，S=6x-12，
∴

1

2

×36=6x-12，
∴x=5．
綜上所述，當x=5時，重疊部分面積S等于直角梯形的一半．

點評：本題主要考查了梯形、正方形的性質，相似三角形的判定和性質等知識點，（2）中要根據重合部分的形狀的不同來分類討論．不要漏解．