Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；
（2）P是線段AC上的一個動點，（不與A、C重合），過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值，并直接寫出△ACE面積的最大值；
（3）點G為拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，解得x1=﹣1或x2=3，

∴A（﹣1，0）B（3，0）．

將C點的橫坐標x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，

∴C（2，﹣3）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A和點C的坐標代入得： ，

解得：k=﹣1，b=﹣1．

∴直線AC的函數解析式是y=﹣x﹣1

（2）

解：設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2）則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）

∵P點在E點的上方，

∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ．

∴當x= 時，PE的最大值為 ．

∴S△ACE= ×PE×（xC﹣xA）= × ×3=

（3）

解：當AC為平行四邊形的對角線時．設點F的坐標為（a，0），點G的坐標為（x，y）．

∵平行四邊形的對角線互相平分，

∴依據中點坐標公式可知： ， ．

∴y=﹣3，x=1﹣a．

∵點G在拋物線上，

∴﹣3=（1﹣a）2﹣2（1﹣a）﹣3，整理得：a2﹣1=0，解得a=﹣1或a=﹣1（舍去）．

∴點F的坐標為（1，0）．

當AC為平行四邊形的邊，CF為對角線時．設點F的坐標為（a，0），點G的坐標為（x，y）．

∵平行四邊形的對角線互相平分，

∴依據中點坐標公式可知： ， = ．

∴y=﹣3，x=a+3

∵點G在拋物線上，

∴﹣3=（a+3）2﹣2（a+3）﹣3，整理得：a2+4a+3=0，將a=﹣3或a=﹣1（舍去）

∴點F的坐標為（﹣3，0）．

當AC為平行四邊形的邊，CG為對角線時．設點F的坐標為（a，0），點G的坐標為（x，y）．

∵平行四邊形的對角線互相平分，

∴依據中點坐標公式可知： ， = ．

∴y=3，x=a﹣3

∵點G在拋物線上，

∴3=（a﹣3）2﹣2（a﹣3）﹣3，整理得：a2﹣8a+9=0，解得a=4+ 或a=4 ．

∴點F的坐標為（4+ ，0）或（4﹣ ）．

綜上所述，點F的坐標為（1，0）或（﹣3，0）或（4+ ，0）或（4﹣ ）

【解析】（1）令y=0得到關于x的方程，解方程可求得點A和點B的橫坐標，將x=2代入拋物線的解析式求得對應的y值可求得點C的縱坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A和點C的坐標代入求得k和b的值即可；（2）設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2）則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），然后得到PE與x的函數關系式，利用二次函數的性質可求得PE的最大值，最后依據S△ACE= ×PE×（xC﹣xA）求解即可；（3）設點F的坐標為（a，0），點G的坐標為（x，y），依據中點坐標公式求得點G的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式求得對應的a的值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�