Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弧CD⊥AB，垂足為H，P為弧AD上一點，連接PA、PB，PB交CD于E．

（1）如圖（1）連接PC、CB，求證：∠BCP=∠PED；

（2）如圖（2）過點P作⊙O的切線交CD的延長線于點E，過點A向PF引垂線，垂足為G，求證：∠APG=∠F；

（3）如圖（3）在圖（2）的條件下，連接PH，若PH=PF，3PF=5PG，BE=2，求⊙O的直徑AB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AB=15

【解析】

（1）由垂徑定理得出∠CPB=∠BCD，根據∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED即可得證；

（2）連接OP，知OP=OB，先證∠FPE=∠FEP得∠F+2∠FPE=180°，再由∠APG+∠FPE=90得2∠APG+2∠FPE=180°，據此可得2∠APG=∠F，據此即可得證；

（3）連接AE，取AE中點N，連接HN、PN，過點E作EM⊥PF，先證∠PAE=∠F，由tan∠PAE=tan∠F得，再證∠GAP=∠MPE，由sin∠GAP=sin∠MPE得，從而得出，即MF=GP，由3PF=5PG即，可設PG=3k，得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k，由∠FPE=∠PEF知PF=EF=5k、EM=4k及PE=2k、AP=k，證∠PEM=∠ABP得BP=3k，繼而可得BE=k=2，據此求得k=2，從而得出AP、BP的長，利用勾股定理可得答案．

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑且AB⊥CD，

∴∠CPB=∠BCD，

∴∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED，

∴∠BCP=∠PED；

（2）連接OP，則OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∵PF是⊙O的切線，

∴OP⊥PF，則∠OPF=90°，

∠FPE=90°﹣∠OPE，

∵∠PEF=∠HEB=90°﹣∠OBP，

∴∠FPE=∠FEP，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠APB=90°，

∴∠APG+∠FPE=90°，

∴2∠APG+2∠FPE=180°，

∵∠F+∠FPE+∠PEF=180°，

∵∠F+2∠FPE=180°

∴2∠APG=∠F，

∴∠APG= ∠F；

（3）連接AE，取AE中點N，連接HN、PN，過點E作EM⊥PF于M，

由（2）知∠APB=∠AHE=90°，

∵AN=EN，

∴A、H、E、P四點共圓，

∴∠PAE=∠PHF，

∵PH=PF，

∴∠PHF=∠F，

∴∠PAE=∠F，

tan∠PAE=tan∠F，

∴，

由（2）知∠APB=∠G=∠PME=90°，

∴∠GAP=∠MPE，

∴sin∠GAP=sin∠MPE，

則，

∴，

∴MF=GP，

∵3PF=5PG，

∴，

設PG=3k，則PF=5k，MF=PG=3k，PM=2k

由（2）知∠FPE=∠PEF，

∴PF=EF=5k，

則EM=4k，

∴tan∠PEM=，tan∠F=，

∴tan∠PAE=，

∵PE=，

∴AP=k，

∵∠APG+∠EPM=∠EPM+∠PEM=90°，

∴∠APG=∠PEM，

∵∠APG+∠OPA=∠ABP+∠BAP=90°，且∠OAP=∠OPA，

∴∠APG=∠ABP，

∴∠PEM=∠ABP，

則tan∠ABP=tan∠PEM，即，

∴，

則BP=3k，

∴BE=k=2，

則k=2，

∴AP=3、BP=6，

根據勾股定理得，AB=15．