Question

【題目】如圖，在中，點在斜邊上，以為圓心，為半徑作圓，分別與，相交于點，連結，已知.

（1）求證：是的切線.

（2）若，求的半徑.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖，連結，根據等腰三角形的性質可得∠ODB=∠B，由∠CAD=∠B可得∠ODB=∠CAD，根據直角三角形兩銳角互余及平角的定義可得∠ADO=90°，即可證明AD是的半徑；（2）設的半徑為，在Rt△ABC中，根據tanB=可求出AC的長，利用勾股定理可求出AB的長，可用r表示出OA的長，在Rt△ACD中，根據∠CAD=∠B可利用∠B的正切值求出CD的長，利用勾股定理可求出AD的長，在Rt△ADO中，利用勾股定理列方程求出r的值即可得答案.

（1）如圖，連結，

∵，

∴∠ODB=∠B，

∵∠CAD=∠B，

∴ODB=∠CAD，

在中，∠CAD+∠CDA=90°，

∴∠ODB+∠CDA=90°，

∴∠ADO=180°-（∠ODB+∠CDA）=90°，

∴，

∴是的切線.

（2）設的半徑為，

在中，，

∴，

∴，

∵∠CAD=∠B，

∴在中，tan∠CAD=tan∠B=，

∴，

∴，

在中，，

∴，

解得.