Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的兩個頂點A、B的坐標分別A（-2

3

，0）、B（-2

3

，2），∠CAO=30°．
（1）求對角線AC所在的直線的函數表達式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直線為對稱軸翻折，點O落在平面上的點D處，求點D的坐標；
（3）在平面內是否存在點P，使得以A、O、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意得，OA=2

3

，∠CAO=30°，
則OC=OAtan∠CAO=2，
即點C的坐標為（0，2），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，將點A及點C的坐標代入得：

-2 3 k+b=0 b=2

，
解得：

k= 3 3 b=2

，
故直線AC的函數表達式為：y=

3

3

x+2．

（2）過點D作DE⊥OA于點E，

∵∠CAO=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2

3

，
∴DE=3，AE=

3

，
∴OE=

3

，
故點D的坐標為（-

3

，3）．

（3）
①當AD為平行四邊形的一邊時，點P的位置有兩個，分別為P₁、P₂，
當點P位于P₁位置時，DP₁=AO，
此時可得點P的坐標為（

3

，3）；
當點P位于P₂位置時，
∵OD=AD，△AOD是等邊三角形，
∴點P₂與點D關于x軸對稱，
此時可得點P的坐標為（-

3

，-3）；
②當AD為平行四年行的對角線時，點P的位置有一個，在P₃的位置，
此時DP₃=AO，
故可得點P的坐標為（-3

3

，3）．
綜上可得存在點P的坐標，使得以A、O、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為（

3

，3）或（-

3

，-3）或（-3

3

，3）．