Question

如圖①， 已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B (－3，0)，與y軸交于點C．

(1) 求拋物線的解析式；

(2) 設拋物線的對稱軸與軸交于點M ，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

     

  

(3) 如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

解: (1)由題知:    

 解得:

∴ 所求拋物線解析式為:

 (2) 存在符合條件的點P, 其坐標為P (－1, )或P(－1,－ )

或P (－1, 6)  或P (－1, )

(3)解法①：

過點E 作EF⊥x 軸于點F , 設E ( a ,--2a＋3 )( －3< a < 0 )

∴EF=--2a＋3，BF=a＋3，OF=－a

∴S_{四邊形BOCE} = BF?EF + (OC +EF)?OF  

=( a＋3 )?(－－2a＋3) + (－－2a＋6)?（－a）

=

=－+

∴ 當a =－時，S_{四邊形BOCE} 最大, 且最大值為 ． 

此時，點E 坐標為 (－，)

解法②：

過點E 作EF⊥x 軸于點F， 設E ( x ,  y ) ( －3< x < 0 )

則S_{四邊形BOCE} = (3 + y )?(－x) +  ( 3 + x )?y

             = ( y－x)= ( ) 

             = － +  

∴ 當x =－時，S_{四邊形BOCE} 最大，且最大值為 ．

此時，點E 坐標為 (－，)