Question

【題目】在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，CD、BE交于點O，連接OA

(1) 如圖1，求證：△ABE≌△ACD

(2) 如圖1，求∠AOE的大小

(3) 當繞點A旋轉至如圖2所示位置時，若∠BAC=∠DAE=α，∠AOE=_________

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠AOE=105°；（3）90°+α.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質性質，可得∠BAE=∠CAD，由SAS證明△ABE≌△ACD即可；

（2）由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出∠ABC=∠ACB=75°，根據全等三角形的性質得出∠ABO=∠ACO．∠AEO=∠ADO，證出A、B、C、O四點共圓，A、D、E、O四點共圓，由圓內接四邊形的性質和圓周角定理得出∠AOD=∠ABC=75°，∠DOE=∠DAE=30°，得出∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°即可；

（3）同（2），即可得出結果．

(1)證明：∵∠BAC=∠DAE=30°，

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，

即∠BAE=∠CAD.

在△ABE和△ACD中,

，

∴△ABE≌△ACD(SAS)；

(2)∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=(180°30°)=75°，

∵△ABE≌△ACD，

∴∠ABO=∠ACO.∠AEO=∠ADO，

∴A、B. C. O四點共圓，A. D. E. O四點共圓，

∴∠AOD=∠ABC=75°,∠DOE=∠DAE=30°，

∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=75°+30°=105°；

(3)同(2)得：∠ABC=∠ACB= (180°α)=90°α，

∴∠AOD=∠ABC=90°α，∠DOE=∠DAE=α，

∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°α+α=90°+α；

故答案為：90°+α.