Question

（a）如圖（1）分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用表示 S₁、S₂、S₃則它們有

S₂+S₃=S₁

關系．
（b）如圖（2）分別以直角三角形ABC三邊向外作三個正方形，其面積表示 S₁、S₂、S₃．則它們有

S₂+S₃=S₁

關系．
（c）如圖（3）分別以直角三角形ABC三邊向外作三個正三角形，面積表示S₁、S₂、S₃，則它們有

S₂+S₃=S₁

關系．并選擇其中一個命題證明．

Answer 1

分析：（a）分別用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根據AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的關系；
（b）分別用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根據AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的關系；
（c）分別用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根據AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的關系．

解答：解：（1）S₃=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₁=

π

8

AB²，
∴S₂+S₃=S₁．
（2）S₂+S₃=S₁…（4分）
由三個四邊形都是正方形則：
∵S₃=AC²，S₂=BC²，S₁=AB²，…（8分）
∵三角形ABC是直角三角形，
又∵AC²+BC²=AB²…（10分）
∴S₂+S₃=S₁．
（3）S₁=

3

4

AB²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AC²，
∴S₂+S₃=S₁．

點評：此題主要涉及的知識點：三角形、正方形、圓的面積計算以及勾股定理的應用，解題關鍵是熟練掌握勾股定理的公式，難度一般．