Question

已知正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別是OB、OC上的動點，
（1）如果動點E、F滿足BE=CF（如圖）：
①寫出所有以點E或F為頂點的全等三角形（不得添加輔助線）；
②證明：AE⊥BF；
（2）如果動點E、F滿足BE=OF（如圖），問當AE⊥BF時，點E在什么位置，并證明你的結論．

Answer 1

（1）①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA
②見解析
（2）見解析

（1）①根據正方形性質及BE=CF即可得出全等的三角形，②根據全等三角形及正方形的性質即可得出結論。
（2）根據正方形性質及已知條件由ASA得出△ABE≌△BCF，即可由等量代換得證。
（1）①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA
②證明：如圖，延長AE 交BF 于點M，

∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE。
∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）。∴∠CBF＝∠BAE
∵∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°，
∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°。
∴∠AMB＝90°。∴AE⊥BF。
（2）點E 是OB 的中點。證明如下：
∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE。
∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°。∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°。
∴∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°。∴∠CBF＝∠BAE。∴△ABE≌△BCF（ASA）。
∴BE＝CF。
∵BE＝OF，∴CF＝OF。
又∵OB＝OC，∴BE=OE。∴點E是OB 的中點。