Question

【題目】如圖，已知：正方形ABCD中，AB=8，點O為邊AB上一動點，以點O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點E（不與點A、D重合），EF⊥OE交邊CD于點F．設BO=x，AE=y．

（1）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（2）在點O運動的過程中，△EFD的周長是否發生變化？如果發生變化，請用x的代數式表示△EFD的周長；如果不變化，請求出△EFD的周長；

（3）以點A為圓心，OA為半徑作圓，在點O運動的過程中，討論⊙O與⊙A的位置關系，并寫出相應的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）△EFD的周長不變．理由見解析；

（3）當⊙O與⊙A相交時， ；當⊙O與⊙A內切時， ；當⊙O與⊙A內含時，

【解析】試題分析: （1）OB、OE均是 O的半徑，得出OB=OE，然后在Rt△AOE中，運用勾股定理可得出y與x的關系式，結合二次根式有意義的條件，可得出x的范圍；

（2）先判斷△AOE∽△DEF，然后根據相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△DEF周長的表達式，進一步化簡可得出答案；

（3）設 O的半徑R1=x，則 A的半徑R2=8-x，圓心距d=OA=8-x，分三種情況討論，依此解出x的范圍即可．

試題解析:（1）∵以點O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點E，

∴OB=OE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∴AO2+AE2=OE2，即（8-x）2+y2=x2，

∵y＞0，

∴

（2）△EFD的周長不變．

理由如下：

∵EF⊥OE，

∴∠AEO+∠DEF=90°，

∵∠D=∠A=90°，

∴∠AEO+∠AOE=90°，

∴∠DEF=∠AOE，

∴△AOE∽△DEF，

∴=

∴=16

（3）設⊙O的半徑R1=x，則⊙A的半徑R2=8-x，圓心距d=OA=8-x，

∵4＜x＜8，

∴R1＞R2，

因為點A始終在⊙O內，所以外離和外切都不可能；

當⊙O與⊙A相交時，R1-R2＜d＜R1+R2，即x-8+x＜8-x＜x+8-x，

解得：

故可得此時：

②當⊙O與⊙A內切時，d=R1-R2，即8-x=x-8+x，

解得：x=

③當⊙O與⊙A內含時，0＜d＜R1-R2，即0＜8-x＜x-8+x，

解得：