Question

如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA=DF，
（1）試說明：△FBD≌△ACD；
（2）延長BF交AC于E，且BE⊥AC，試說明：CE=

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BF；
（3）在（2）的條件下，若H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．試探索CE，GE，BG之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，與已知DA=DF通過SAS證得△FBD≌△ACD；
（2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通過ASA證得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=

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AC，從而得出結論；
（3）連接CG，由H是BC邊的中點和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出CG²=CE²+GE²，從而得出CE，GE，BG的關系．

解答：解：（1）∵DB=DC，∠BDF=∠ADC=90°
又∵DA=DF，
∴△BFD≌△ACD；

（2）∵△BFD≌△ACD，
∴BF=AC，
又∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=

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AC，
∴CE=

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AC=

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BF；

（3）CE，GE，BG之間的數量關系為：CE²+GE²=BG²，
連接CG．
∵BD=CD，H是BC邊的中點，
∴DH是BC的中垂線，
∴BG=CG，
 在Rt△CGE中有：CG²=CE²+GE²，
∴CE²+GE²=BG²．

點評：此題考查的知識點是等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質及線段垂直平分線的性質，運用好SAS、ASA判定三角形全等及勾股定理是關鍵．