Question

【題目】已知線段AB=12，CD=6，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側，C在D的左側）．

（1）當D點與B點重合時，AC=_________；

（2）點P是線段AB延長線上任意一點，在（1）的條件下，求PA+PB–2PC的值；

（3）M、N分別是AC、BD的中點，當BC=4時，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）PA+PB–2PC=0；（3）MN=9．

【解析】分析：（1）根據題意即可得到結論；（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根據線段的和差即可得到結論；（3）需要分類討論：①如圖1，當點C在點B的右側時，根據“M、N分別為線段AC、BD的中點”，先計算出AM、DN的長度，然后計算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當點C位于點B的左側時，利用線段間的和差關系求得MN的長度．

本題解析：

（1）當D點與B點重合時，AC=AB﹣CD=6；

故答案為：6；

（2）由（1）得AC=AB，

∴CD=AB，

∵點P是線段AB延長線上任意一點，

∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，

∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；

（3）如圖1，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，

∴AM=AC=（AB+BC）=8，

DN=BD=（CD+BC）=5，

∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；

如圖2，∵M、N分別為線段AC、BD的中點，

∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，

DN=BD=（CD﹣BC）=1，

∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．