Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動(與A、C不重合)，Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合)，過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D.

(1)當∠BQD=30°時，求AP的長；

(2)證明：在運動過程中，點D是線段PQ的中點；

(3)當運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）3.

【解析】試題分析：（1）先判斷出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性質得出QC=2PC，建立方程求解決即可；
（2）先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°，進而判斷出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出結論；
（3）利用等邊三角形的性質得出EF=AF，借助DF=DB，即可得出DF=BF，最后用等量代換即可．

試題解析：（1）解：設AP=x，則BQ=x，
∵∠BQD=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，即x+6=2（6-x），
解得x=2，
即AP=2．
（2）證明：如圖，

過P點作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP即D為PQ中點，
（3）運動過程中線段ED的長不發生變化，是定值為3，
理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴EF=AF，
又∵△DQB≌△DPF，
∴DF=DB，即DF=BF，
∴ED=EF+DF= (AF+BF)=AB=3．