Question

（2005•南充）如圖，點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為AB，BC邊上的中點(diǎn)，則MP+NP的最小值是（ ）

A．2
B．1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：首先作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值．然后證明四邊形PMBN為菱形，即可求出MP+NP=BM+BN=BC=1．
解答：解：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值．
∵菱形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱，M是AB邊上的中點(diǎn)，
∴M′是AD的中點(diǎn)，
又N是BC邊上的中點(diǎn)，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四邊形AM′NB是平行四邊形，
∴PN∥AB，
又N是BC邊上的中點(diǎn)，
∴PN是△CAB的中位線，
∴P是AC中點(diǎn)，
∴PM∥BN，PM=BN，
∴四邊形PMBN是平行四邊形，
∵BM=BN，
∴平行四邊形PMBN是菱形．
∴MP+NP=BM+BN=BC=1．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：考查菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及平行四邊形的判定等知識(shí)的綜合應(yīng)用．