Question

【題目】如圖1，直線交軸于點A，交軸于點C（0,4）.拋物線經過點A，交軸于點B（0，-2）.點P為拋物線上一個動點，經過點P作軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐標為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；

（3）如圖2，將△BDP繞點B逆時針旋轉，得到△BD′P′，且旋轉角∠PBP′=∠OAC，當點P的對應點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當△BPD為等腰直角三角形時，PD的長為.

（3）,,.

【解析】

試題分析：（1）先求得點A的坐標，再利用待定系數法求拋物線的解析式即可；（2）設點P的橫坐標為,可得P（m，），D（m，-2），若△BPD為等腰直角三角形，則PD=BD.分兩種情況：①當點P在直線BD的上方時，PD=,再分點P在y軸的左側和右側兩種情況，列方程求解即可；②當點P在直線BD的下方時，m＞0，BD=m，PD=,列方程求解即可；（3）∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠PBP/=，cos∠PBP/=，①當點P/落在x軸上時，過點D/作D/N⊥x軸于N，交BD于點M，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如圖1，ND/-MD/=2,即×（m2-m）-（-m）=2；如圖2，ND/-MD/=2，即×（m2-m）-（-m）=2解得：P（－，）或P（，）；②當點P/落在y軸上時，

如圖3，過點D/作D/M⊥x軸交BD于點M，過點P/作P/N⊥y軸，交MD/的延長線于點N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,∵PN=BM,即 ×（m2-m）= m∴P（，）

試題解析：（1）由直線過點C（0,4），得n=4，∴.

當y=0時，，解得x=3，∴A（3,0）.

∵拋物線經過點A（3,0），B（0，-2），

∴，解得

∴.

（2）設點P的橫坐標為,∴P（m，），D（m，-2）.

若△BPD為等腰直角三角形，則PD=BD.

①當點P在直線BD的上方時，PD=,

（Ⅰ）若點P在y軸的左側，則m＜0，BD=-m，

∴，

解得（舍去）.

（Ⅱ）若點P在y軸的右側，則m＞0，BD=m，

∴，

解得.

②當點P在直線BD的下方時，m＞0，BD=m，PD=,

∴，

解得.

綜上m=.

即當△BPD為等腰直角三角形時，PD的長為.

（3）,,.