Question

（2006•北京）已知：拋物線y=-x²+mx+2m²（m＞0）與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，C是拋物線上一個動點（點C與點A、B不重合），D是OC的中點，連接BD并延長，交AC于點E．
（1）用含m的代數式表示點A、B的坐標；
（2）求的值；
（3）當C、A兩點到y軸的距離相等，且S_△CED=時，求拋物線和直線BE的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=0，得出的一元二次方程的解就是A、B兩點的橫坐標．由此可求出A、B的坐標．
（2）本題要通過構建相似三角形求解，過O作OG∥AC交BE于G，那么可得出兩組相似三角形：△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE，可分別用這兩組相似三角形得出OG與EC的比例關系、OG與AE的比例關系，從而得出CE、AE的比例關系．
（3）求直線BE的解析式，要知道B、D的坐標，就要先確定m的值，已知了A、C到y軸的距離相等，因此A、C的橫坐標互為相反數，可得出C的坐標為（m，2m²）．連接OE，可根據（2）中AE、CE的比例關系得出△CED與△AOC的面積比，從而可求出△AOC的面積，根據A、C兩點的坐標即可表示出三角形AOC的面積，由此可確定m的值．即可得出A、C、B的坐標．也就能求出D點的坐標，然后根據B、D的坐標用待定系數法求出直線BE的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+mx+2m²（m＞0）與x軸交于A、B兩點，
∴關于x的方程-x²+mx+2m²=0有兩個不相等的實數根x₁和x₂；
解得x₁=-m，x₂=2m．
∵點A在點B的左邊，且m＞0，
∴A（-m，0），b（2m，0）．

（2）過點O作OG∥AC交BE于點G．
∴△CED∽△OGD
∴；
∵DC=DO，
∴CE=OG；
∵OG∥AC，
∴△BOG∽△BAE，
∴．
∵OB=2m，AB=3m．
∴===．

（3）連接OE．
∵D是OC的中點，
∴S_△OCE=2S_△CED
∵==
∴=．
∴S_△AOC=5S_△CED=8
∵S_△AOC=OA•|y_C|=m•2m²=m³
∴m³=8，
解得m=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8，點C的坐標為（2，8），點B的坐標為（4，0）．
分別過點D、C作x軸的垂線，交x軸于點M、N．
∴DM∥CN，
∵D是OC的中點．
∴OM=ON=1，DM=CN=4，
∴點D的坐標為（1，4）．
設直線BE的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得：，
∴直線BE的解析式為y=-x+．
點評：本題著重考查了相似三角形和二次函數的綜合應用等知識點，綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．