Question

【題目】如圖（1），二次函數的圖象與軸、直線的交點分別為點、．

圖（1） 圖（2） （備用圖）

（1）_________，_________，=_________；

（2）連接AB，點是拋物線上一點（異于點A），且，求點的坐標；

（3）如圖（2），點、是線段上的動點，且．設點的橫坐標為．

①過點、分別作軸的垂線，與拋物線相交于點、，連接．當取得最大值時，求的值并判斷四邊形的形狀；

②連接、，求為何值時，取得最小值，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）①時，取得最大值；四邊形是平行四邊形；②當時，最小，這個最小值為．

【解析】

（1）利用坐標點過二次函數圖像，待定系數法即可得.

直線OB是正比例函數， ，可得出直線與x軸的夾角.

（2）通過找的對稱點 作輔助線,通過圖像的幾何特征聯立方程求出直線解析式，直線一次函數與二次函數的交點即為所求的坐標點.

（3）①找出線段關系式，即線段和以m的關系式，問題變成以m為變量的函數極值問題，通過配方法解得.

②動點線段和的極值問題，關鍵是找對稱點，通過“兩點間，線段最短”的思路添加輔助線求得.

（1）

因為二次函數圖像經過、

∴解得 ，，

又∵正比例函數， ，可得出直線與x軸的夾角；

（2）

作點關于直線的對稱點，直線

∵，，

∴ ∴

又∵，設的解析式為

則有

∴求出直線的解析式為，

解方程組，得

（3）①

∵點的橫坐標為，且軸，

∴，，

又∵，且是線段上的一動線段，

span>∴，，

∴，

，

∴

∴當時，取得最大值；

此時，，

∴

∴四邊形是平行四邊形．

②

如圖所示，過點作的平行線，過點作的平行線，交于點，則四邊形是平行四邊形，

∴

∵點與點關于直線對稱，連接，，則．

∴

∴當，，三點共線時，最短，此時最短，

∵，，

∴，，

得出直線的解析式為，

解方程組，可得，

∴，而

∴，，

，

故當時，最小，這個最小值為．