Question

如圖1，拋物線F₁：y=x²的頂點為P，將拋物線F₁平移得到拋物線F₂，使拋物線F₂的頂點Q始終在拋物線F₁圖象上（點Q不與點P重合），過點Q直線QB∥x軸，與拋物線F₁的另一個交點為B，拋物線F₁的對稱軸交拋物線F₂于點A．
（1）猜想四邊形ABOQ的形狀為______，若四邊形ABOQ有一個內角為60°，則此時點Q的坐標為______

Answer 1

【答案】分析：此題3個小題的解法是一致的，首先表示出平移后的拋物線解析式，易知AP垂直平分線段BQ，只需看BQ是否垂直平分AP即可，可將P點橫坐標代入平移后的拋物線中，即可得到點A的坐標，然后比較AP的長是否為Q、P縱坐標差的2倍即可；
在證得四邊形ABPQ是菱形后，設AP與BQ的交點為M，若菱形的一個內角為60°，那么△AMQ中，∠MAQ=30°或60°，AM、MQ的長可由點A、Q的坐標獲得，根據AM=MQ或AM=MQ即可求得點Q的坐標．
解答：解：（1）設平移后的拋物線F₂的解析式為：y=（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
由于F₂的頂點（R，S）在拋物線F₁的圖象上，則有：
S=R²，即拋物線F₂：y=（x-R）²+R²，
當x=0時，y=2R²；
設AP與BQ的交點為M，則AM=PM=R²，
所以AP、BQ互相垂直平分，
即四邊形ABPQ是菱形；
由于菱形的一個內角是60°，則：
①△AMQ中，∠MAQ=30°時，AM=QM，
即R²=R，
解得R=，此時Q（，3）；
②△AMQ中，∠MAQ=60°時，AM=QM，即R²=R，
解得R=，此時Q（，）．

（2）設F₂：y=a（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
同（1）可得：S=aR²，
即拋物線F₂：y=a（x-R）²+aR²；
當x=0時，y=2aR²；
即AM=PM=aR²，故AP、BQ互相垂直平分，即四邊形ABPQ是菱形；
若菱形的一個內角是60°，同（1）可知：
①AM=QM，即aR²=R，解得R=，此時Q（，）；
②AM=QM，即aR²=R，解得R=，此時Q（，）．

（3）設F₂：y=a（x-R）²+S，（R＞0，S＞0），
同（2）得：S=a（R-m）²+n，即拋物線F2：y=a（x-R）²+a（R-m）²+n，
當x=m時，y=2a（R-m）²+n，
故AM=PM=a（R-m）²，
同理可得四邊形ABPQ是菱形；
Q（m+，n+）或（m+，n+）．
點評：此題主要考查了二次函數的性質以及菱形的判定方法，由于題目中大部分數據都是未知數，所以難度較大．