Question

在等腰Rt△ABC中，AC=BC，點D在BC上，過點D作DE⊥AD，過點B作BE⊥AB交DE于點E，DE交AB于F．
（1）求證：AD=DE；
（2）若BD=2CD，求證：AF=5BF．

Answer 1

分析：（1）過D作DN∥AB交AC于N點，根據∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，求證△AND≌△DBE即可；
（2）過E作EM∥BC交AB于M點，求證△BME為等腰Rt△，然后設CD=a，求證△MEF≌△BDF即可．

解答：證明：（1）過D作DN∥AB交AC于N點，
∵∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠EDB，又∠AND=∠DBE=135°，AN=BD，
∴△AND≌△DBE，
∴DA=DE；

（2）過E作EM∥BC交AB于M點，則∠BME=∠MBD=45°，
∴△BME為等腰Rt△，設CD=a，則AC=BC=3a，AB=3

2

a，BE=

2

a，ME=2a，
∴△MEF≌△BDF，
∴MF=BF=

2 a

2

，AF=

5 2 a

2

，AF=5BF．

點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質的理解和掌握，此題綜合性較強，有一定的拔高難度，屬于中檔題．