Question

【題目】（本題9分）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負性這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．

例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8

原式=a2+6a+9－1

=（a+3）2 –1

=（a+3－1）（a+3+1）

=（a+2）（a+4）

②若M=a2－2ab+2b2－2b+2，利用配方法求M的最小值：

a2－2ab+2b2－2b+2=a2－2ab+b2+b2－2b+1+1

=（a－b）2+（b－1）2 +1

∵（a－b）2≥0，（b－1）2 ≥0

∴當a=b=1時，M有最小值1

請根據(jù)上述材料解決下列問題：

（1）在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a 2+4a+ ．

（2）用配方法因式分解： a2－24a+143

（3）若M=a2+2a +1，求M的最小值．

（4）已知a2+b2+c2－ab－3b－4c+7=0，求a+b+c的值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）M的最小值-3；（4）a+b+c=5．

【解析】

試題（1）添加的常數(shù)項為一次項系數(shù)4一半的平方，即這個常數(shù)項為4；（2）類比例題進行分解因式即可；（3）類比例題求M的最小值即可；

試題解析：（1）4；

（2）a2－24a+143=a2－24a+144-1==（a-12+1）（a-12-1）=；

（3）M=a2+2a +1=a2+2a+4-3=，

∵≥0，

∴當a=-4時，M有最小值-3．

（4）

，

∴，

解得a=1，b=2，c=2．

∴a+b+c=1+2+2=5．