Question

【題目】閱讀材料．

我們知道，1+2+3+…+n=，那么12+22+32+…+n2結果等于多少呢？

在圖1所示三角形數陣中，第1行圓圈中的數為1，即12，第2行兩個圓圈中數的和為2+2，即22，…；第n行n個圓圈中數的和為n+n+n+…+n，即n2．這樣，該三角形數陣中共有個圓圈，所有圓圈中數的和為12+22+32+…+n2．

（規律探究）

將三角形數陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數陣，觀察這三個三角形數陣各行同一位置圓圈中的數（如第n﹣1行的第一個圓圈中的數分別為n﹣1，2，n），發現每個位置上三個圓圈中數的和均為　 　，由此可得，這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和為3（12+22+32+…+n2）=　 　，因此，12+22+32+…+n2=　 　．

（解決問題）

根據以上發現，計算：的結果為　 　．

Answer 1

【答案】2n+1，，；7.

【解析】

根據圖1和圖2，歸納總結得到一般性規律，利用此規律確定出所求即可．

解：【規律探究】

將三角形數陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數陣，觀察這三個三角形數陣各行同一位置圓圈中的數（如第n﹣1行的第一個圓圈中的數分別為n﹣1，2，n），發現每個位置上三個圓圈中數的和均2n+1；由此可得，這三個三角形數陣所有圓圈中數的總和為3（12+22+32+…+n2）=；因此，12+22+32+…+n2=；

【解決問題】

根據以上發現，計算：：的結果為7．

故答案為：2n+1；；.