Question

若不論自變量x取何實數時，二次函數y=2x²-2kx+m的函數值總是正數，且關于x的實一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不相等的數根．當k為符合條件的最大整數時，m的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：首先根據一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不相等的實數根，求出k＜4，即k=3，再根據已知不論自變量x取何實數時，二次函數y=2x²-2kx+m的函數值總是正數，知拋物線的開口向上，有最小值，只要求出頂點的縱坐標大于0即可求出所填答案．

解答：解：二次函數y=2x²-2kx+m的函數值總是正數，
∵a=2＞0，開口向上，函數有最小值，
∴

4ac-b2

4a

=

4×2m-(-2k)2

4×2

=

2m-k2

2

＞0，
∵一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不相等的實數根，
∴b²-4ac=（-4）²-4×1×k=16-4k＞0，
解得：k＜4，
即：k=3，
∴

2m-9

2

＞0，
即：m＞

9

2

，
故答案為：m＞

9

2

．

點評：本題主要考查了二次函數的性質，一元二次方程的判別式，一元一次不等式的解法等知識點，解此題的關鍵是根據已知確定k的值，進一步確定m的范圍．