Question

【題目】如圖，tan∠GAB=，AB=10cm，點P從點B出發以5cm/s的速度沿BA向終點A運動，同時點Q以相同的速度從點A出發沿射線AG運動，分別以PB、PQ為邊作等邊△BPD，正方形PQEF，連接PE，設運動的時間為ts．

（1）當PE⊥AG時，求t的值；

（2）當△APQ是等腰三角形時，求t的值；

（3）當點F落在△BPD的邊上時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】(1)t=．(2)當△APQ是等腰三角形時，t的值為1s， s， s．

(3)t=s或s時，點F落在△BPD的邊上．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，設PE交AG于點M，過點Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=，設QN=3k，AN=4k，則AQ=5k，列出方程即可角問題．

（2）如圖2中，過點Q作QH⊥AP于H，分三種情形①當AQ=AP時，②當AP=PQ時，③當AQ=PQ時，列出方程即可．

（3））①如圖3中，當點F在直線PD上時，作QH⊥AB于H，②如圖4中，當點F在直線PB上時，③如圖5中，當點F在BD邊上時，作QH⊥AB于H，FM⊥AB于M．

分別列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1，設PE交AG于點M．

∵四邊形PQEF是正方形，∴PE⊥FQ，∴當PE⊥AG時，點F在AG上，∴PM=MQ，

過點Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=，設QN=3k，AN=4k，則AQ=5k，

∴sin∠MAP=，cos∠MAP=，∵AP=10﹣5t，

∴MQ═PM=APsin∠MAP=6﹣3t，AM=APcos∠MAP=8﹣4t，

∵AQ=5t，∴5t+（6﹣3t）=8﹣4t，

∴t=．

（2）如圖2中，過點Q作QH⊥AP于H，

在RT△AQH中，AQ=5t，

∴AH=AQsin∠MAP=5t=4t，QH=AQsin∠MAP=3t，

∵AP=10﹣5t，

∴HP=10﹣9t，

在RT△PQH中，∵∠PHQ=90°，

∴PQ2=HQ2+PH2=（10﹣9t）2+（3t）2=90t2﹣180t+100，

①當AQ=AP時，10﹣5t=5t，解得t=1，

②當AP=PQ時，（10﹣5t）2=90t2﹣180t+100，解得t=（或0舍棄），

③當AQ=PQ時，10﹣5t=3t，解得t=，

綜上所述，當△APQ是等腰三角形時，t的值為1s， s， s．

（3）①如圖3中，當點F在直線PD上時，作QH⊥AB于H，

∵∠QOH+∠DPB=90°，∠DPB=60°，

∴∠QPH=30°，

∴PF=PQ=2QH=6t＞5t，

∴PF＞PD，

這種情形不符合題意．

②如圖4中，當點F在直線PB上時，

在RT△AQP中，∵AQ=5t．AP=4t，

又∵AP=10﹣5t，

∴4t=10﹣5t，

∴t=，此時PQ=4t＜5t，符合題意．

③如圖5中，當點F在BD邊上時，作QH⊥AB于H，FM⊥AB于M．

由△QPH≌△PFM，得到QH=PM=3t，HP=FN=10﹣5t﹣4t=10﹣9t，

在RT△FNB中，∵∠B=60°，

∴BM=FM=（10﹣9t），

∵PM+BM=PB，

∴3t+（10﹣9t）=5t，

∴t=．

綜上所述t=s或s時，點F落在△BPD的邊上．