Question

【題目】如圖，已知P是⊙O外一點，PO交圓O于點C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數為120°，連接PB．
（1）求BC的長；
（2）求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數為120°，

∴弧BC與弧AC的度數為：60°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BC=OC=2

（2）方法一：

證明：∵OC=CP，BC=OC，

∴BC=CP，

∴∠CBP=∠CPB，

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC=∠OCB=60°，

∴∠CBP=30°，

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，

∴OB⊥BP，

∵點B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切線．

方法二：

證明：∵OC=CP=2，

∴OP=4，

由（1）可知：BC=OC=2，

∴BC= OP，∠BOC=60°，

∴△OBP是直角三角形，

∴∠OBP=90°，

∴OB⊥BP，

∴PB是⊙O的切線

【解析】（1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長；（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．