Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑作，點D在上，，，垂足為點E，與和分別交于點M、F．連接、、．

（1）證明：是的切線；

（2）若，，求的半徑長；

（3）在（2）的條件下，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）5；（3）2

【解析】

(1)易證BCOBDO，可得：∠BDO=∠BCO=90°，即：OD⊥BD，即可得證；

(2)由，得AE：ME：AM=1：2：，即AE=2，ME=4，連接CM，由tan∠ACM= tan∠AME=，可得：CM=，根據勾股定理得AC的長，即可得到結論；

(3)過點B作BN∥AC，交MD的延長線于點N，設EF=x，由AEF~BNF，得NF=4x，從而得BC=NE=5x，BD=BC=5x，DN=NE-DE=5x-4，根據勾股定理，求出x的值，進而得到答案.

（1）在BCO和BDO中，

∵

∴BCOBDO（SSS），

∴∠BDO=∠BCO=90°，即：OD⊥BD，

∴是的切線；

（2）∵，

∴DE=ME，

∴AM=，

∵，

∴AE：ME：AM=1：2：，

∴AE=2，ME=4，

連接CM，則∠AMC=90°，

∵∠AME+∠CME=90°，

∠CME+∠ACM=90°，

∴∠AME=∠ACM，

∴tan∠ACM= tan∠AME=，

∴CM=2AM=2×=，

∴AC=，

∴的半徑長是：5.

（3）過點B作BN∥AC，交MD的延長線于點N，

由（2）題可知：AE=2，EC=8，DE=ME=4，

∵四邊形ECBN是矩形，

∴BN=EC=8，

設EF=x，

∵BN∥AC，

∴AEF~BNF，

∴，即：，

∴NF=4x，

∴BC=NE=5x，

∴BD=BC=5x，DN=NE-DE=5x-4，

∵在RtBND中，，

∴，解得：x=2，

∴DF=DE-EF=4-2=2，