Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于D，則下列結論：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分線；③圖中共有3個等腰三角形；④AD²=CD•AC，其中正確的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據等腰三角形的性質可求出∠C；分別得出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度數即可判斷②；利用兩角法可確定等腰三角形的個數；證明△ABC∽△BDC可判斷④．

解答：解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°；故①正確；

∵DM是AB的中垂線，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=36°，
∴BD是∠ABC的平分線；故②正確；
等腰三角形有△ABC、△BDC、△DAB，共3個，故③正確；
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BD

AB

=

CD

BC

，即BD×BC=CD×AB，
又∵BD=BC=AD，AB=AC，
∴AD²=CD•AC．故④正確；
綜上可得①②③④正確，共4個．
故選D．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質及中垂線的性質，解答本題的關鍵是掌握各性質定理的內容，注意已經證明的結論在后面的證明過程可以直接使用．