Question

【題目】已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

（1）求的取值范圍；

（2）若，直線經過點，與軸交于點，且，求拋物線的解析式；

（3）若點在點左邊，在第一象限內，（2）中所得到拋物線上是否存在一點，使直線分的面積為兩部分？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m≠-2；（2）y=-x2+5x-6；（3）點P（，-）或（2，0）．

【解析】

（1）由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，可令y=0，則所得方程的根的判別式△＞0，可據此求出m的取值范圍．
（2）根據已知直線的解析式，可得到D點的坐標；根據拋物線的解析式，可用m表示出A、B的坐標，即可得到AD、BD的長，代入AD×BD=5，即可求得m的值，從而確定拋物線的解析式．
（3）直線PA分△ACD的面積為1：4兩部分，即DH：HC=1：4或4：1，則點H（0，-2）或（0，-5），即可求解．

解：（1）∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴△=（m-4）2+12（m-1）=m2+4m+4=（m+2）2＞0，
∴m≠-2．
（2）∵y=-x2-（m-4）x+3（m-1）=-（x-3）（x+m-1），
∴拋物線與x軸的兩個交點為：（3，0），（1-m，0）；
則：D（0，-1），
則有：AD×BD=，
解得：m=2（舍去）或-1，
∴m=-1，
拋物線的表達式為：y=-x2+5x-6①；
（3）存在，理由：
如圖所示，點C（0，-6），點D（0，-1），點A（2，0），

直線PA分△ACD的面積為1：4兩部分，
即DH：HC=1：4或4：1，則點H（0，-2）或（0，-5），
將點H、A的坐標代入一次函數表達式并解得：
直線HA的表達式為：y=x-2或y=x-5②，
聯立①②并解得：x=或2，
故點P（，-）或（2，0）．