Question

【題目】如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中點，直線BE、DG交于H．BD，AH交于M，連接OH，下列四個結論：

① BE⊥GD； ② OH＝BG； ③ ∠AHD＝45°； ④ GD＝AM．

其中正確的結論個數有

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由已知條件可證得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因為∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；
②由①可以證明△BHD≌△BHG，就可以得到DH=GH，得出OH是△BGD的中位線，從而得出結論．
③若以BD為直徑作圓，那么此圓必經過A、B、C、H、D五點，根據圓周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的結論也是正確的．
④此題要通過相似三角形來解；由②的五點共圓，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根據相似三角形的比例線段即可得到AM、DG的比例關系；

解：①正確，證明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，
∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；
②∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH=∠GBH．
∵BE⊥GD，
∴∠BHD=∠BHG=90°．
在△BHD和△BHG中

，
∴△BHD≌△BHG（ASA），
∴DH=GH．
∵O是BD中點，
∴DO=BO．
∴OH是△BDG的中位線，
∴OH=BG，故②正確；
③由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五點都在以BD為直徑的圓上；
由圓周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故③正確；
④由②知：A、B、C、D、H五點共圓，則∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；
故④正確；
∴正確的個數有4個．
故選：D．