Question

【題目】如圖，在△ABC中，M，N分別是邊AB、BC的中點，E、F是邊AC上的三等分點，連接ME、NF且延長后交于點D，連接BE、BF

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時四邊形BFDE是菱形，證明你的結論。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）△ABC是等腰三角形時，四邊形BFDE是菱形，理由見解析

【解析】

（1）由E、F是邊AC上的三等分點，CF=EF=AE，可得N是BC中點，即可得FN是△CEB的中位線，根據三角形中位線的性質，可得FN∥BE，同理可證：ED∥BF，即可判定四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）根據SAS證明△ABE≌△CBF，從而得到BE＝BF，再根據菱形的判定得到結論.

（1）證明：∵E、F是AC邊上的三等分點，
∴CF=EF=AE，
∵N是BC中點，
∴FN是△CEB的中位線，
∴FN∥BE，即DF∥BE，
同理可證：ED∥BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）△ABC是等腰三角形時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：

∵△ABC等腰三角形，

∴AB＝CB,∠A=∠C,

在△ABE和△CBF中

，

∴△ABE≌△CBF，

∴BE＝BF，

又∵四邊形BFDE是平行四邊形，

∴四邊形BFDE是菱形.