Question

已知如圖，AB為半圓⊙O的直徑，C為半圓上的一點．
（1）請你只用直尺和圓規，分別以AC、BC為直徑，向△ABC外側作半圓．（不必寫出作法，只需保留作圖痕跡）
（2）若AC=3，BC=4，求所作的兩個半圓中不與⊙O重疊的部分的面積和．

Answer 1

分析：（1）作BC的中垂線交于BC于點E，以點E為圓心，BE為半徑作半圓，作AC的中垂線交于AC于點F，以點F為圓心，AF為半徑作半圓；
（2）由勾股定理知，以AB為直徑的半圓的面積等于以BC為直徑的半圓的面積與以AC為直徑的半圓與以AC為直徑的半圓的面積的和，建立方程，即可求得兩個半圓中不與⊙O重疊的部分的面積和．

解答：解：（1）如圖：


（2）設以BC為直徑的半圓與已知半圓不重合的部分面積為S₁，重合部分面積為S₂，
以AC為直徑的半圓與已知半圓不重合的部分面積為S₃，重合部分面積為S₄，
則∵AB為直徑，∴∠C=90°，又∵AC=3，BC=4，∴AB=5
∵S₁+S₂=

1

2

π(

BC

2

)2=2π，
S₃+S₄=

1

2

π(

AC

2

)2=

9

8

π，
S₂+S₄+S_△ABC=

1

2

π(

AB

2

)2=

25

8

π，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=S₂+S₄+S_△ABC，
∴S₁+S₃=S_△ABC=6．

點評：本題利用了中垂線的作法，和勾股定理，半圓的面積公式求解．