Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC、AD∥BC，

∴∠ABD=∠CDB，

∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，

∴∠EBD= ∠ABD，∠FDB= ∠BDC，

∴∠EBD=∠FDB，

∴BE∥DF，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BEDF是平行四邊形

（2）證明：當∠ABE=30°時，四邊形BEDF是菱形，

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，

∴∠EDB=∠EBD=30°，

∴EB=ED，

又∵四邊形BEDF是平行四邊形，

∴四邊形BEDF是菱形

【解析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，結合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根據AD∥BC即可得證；（2）當∠ABE=30°時，四邊形BEDF是菱形，由角平分線知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，結合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得證．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和菱形的判定方法的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能正確解答此題．